Синус sin x косинус cos x - свойства графики формулы


Содержание:
  • Определение синуса и косинуса
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Решение уравнений и неравенств
  • Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1


  • Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому я решил опустить несколько скучных лекций и приступить сразу к главному.

    Определение синуса и косинуса

    Итак, в первую очередь, начнем с определения.

    Во-первых построим числовую окружность и отметим на ней некоторые точки:

    Если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа и обозначают , а ординату точки М называют синусом числа и обозначают .

    Итак, судя по нашему рисунку мы видим, что

    если , то

    Отсюда следует, что

    Вспомним, что каждая точка числовой окружности имеет в системе свои координаты, причем для точек:

    Это нам с вами поможет составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности:

    IIIIIIIV
    синус++
    косинус++

    В дальнейшем эту таблицу мы с вами продолжим, а также разберемся в каких случаях она применяется.

    Основное тригонометрическое тождество

    Надеюсь, все вы помните, что уравнение числовой окружности имеет вид:

    Тем самым фактически мы можем получить важнейшее равенство, связывающее синус и косинус между собой, а именно:

    В дальнейшем мы будем называть это равенство основным тригонометрическим тождеством. А если оно «основное», то знать его нужно всем обязательно, в отличие от большинства других формул тригонометрии.

    Ну и последнее, что я хочу сказать по теории, это, конечно, таблицы значений синусов и косинусов, с которыми вы, наверное, уже сталкивались, если изучали курс геометрии.

    Но для тех, у кого их нет, я выложу основные из значений:

    1 часть таблицы (значения от 0 до 180º):

    2 часть таблицы (значения до 360º):

    С теорией покончено, давайте решим несколько примеров:

    Решение уравнений и неравенств

    ПРИМЕР 1Вычислить и , если

    а) ; б) ; в)

    Решение

    а) В первую очередь смотрим в таблицу значений синуса и косинуса и видим сразу, что такого значения t там нет, но, как вы должны знать, данная таблица составлена по числовой окружности, поэтому 0º = 360º. Т.е. все значения после будут повторяться. Остается лишь найти, в какой четверти находится .

    Имеем,

    Если, кому не понято, то вначале я неправильную дробь перевел в смешанное число, а дальше в принципе все понятно, если целая часть четная — то ее опускаем, т.к. будет (), а если нечетная — то в конце концов останется еще и его будем прибавлять к нашей обыкновенной дроби.

    Отсюда следует, что числу  соответствует та же точка числовой окружности, что и .

    Теперь заглянем в таблицу и видим, что

    , а

     

    б) Также переписываем неправильную дробь в виде смешанного числа:

    ;

    -12 — четное число, поэтому забываем про него и значения смотрим по второму слагаемому —. В итоге у нас вышло отрицательное число, а значит, отсчитывать значения мы будет по часовой стрелке, т.е. начиная с четвертой четверти, а не с первой. Отсчитав, видим, что   соответствует , (чтобы было понятнее соответствует -60º,  а 360º — 60º = 300º, поэтому и смотрим ответ у , значит,

    ,  

     

    в)Здесь все вообще супер — просто. . Как видите, в значении целая часть и причем она четная, а это значит, она будет соответствовать значению . Как видим представленное значение t соответствует значению нуля, т.е.

    .

    ПРИМЕР 2 Решить уравнение:

    Решение:

    Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой и записать, каким числам t они соответствуют.

    В нашем случае, если посмотреть в таблицу мы видим, что данной ординате соответствуют точки и

    Следовательно,

    Ответ: ;

    Как вы, надеюсь, понимаете с косинусом все будет наоборот, вы будете искать значение абсциссы (т.е. в таблице смотреть значения косинуса).

    С уравнениями, думаю, все понятно. Перейдем к неравенствам. С ними обстоят дела похоже, но кое-чем отличаются.

    ПРИМЕР 3 Решить неравенство

    Решение:

    Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точку с абсциссой и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая  пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству же соответствуют все точки открытой дуги (т.е. все что находится между этими точками пересечения). Согласно таблице, это точки и . Получается, решением неравенства будут все точки, входящие в данный интервал.

    Ответ:.

    Завершая в данном уроке разговор о синусе и косинусе хотел бы вам также представить еще несколько важных формул, которые справедливы для любого значения t.

    1. sin (-t) = -sin t;  cos (-t) = cos t

    К примеру,

    2. sin (t + 2πk) = sin t;  cos (t + 2πk) = cos t

    Это очевидно, так как 2π — это период функции, равный одному кругу, а k  — это количество таких периодов. И вы, уже должны были понять, что, когда первый круг заканчивается 360º, то все начинается сначала, т.е. 390º будут соответствовать 30º

    3. sin (t + π) = -sin t; cos (t + π) = -cos t

    Это также очевидно, если вы внимательно изучали таблицу, то заметили, что значения после половины периода π соответствуют другому периоду, но с противоположным знаком.

    4. sin (t + = cos t; cos (t + = -sin t

    Также, если внимательно изучали таблицу, то и эту закономерность вы должны были заметить.

    Ну вот с основными закономерностями таблицы синусов и косинусов мы ознакомились и на этом можно заканчивать.

     

    Всем спасибо, если есть вопросы по теме пишите, обязательно отвечу!!!

     

    Источник: http://mathcentr.ru/sinus-i-kosinus/

    Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1


    Опубликовано: 14.02.2018 | Автор: chrysvencirel

    Рейтинг статьи: 5

    Новое по теме


    Всего 4 комментариев.


    19.03.2018 scaratcon:
    Свойства функций синус и косинус. Функция sin t нечетная: sin(-t) = - sin t, а функция cos t четная: cos(-t) = cos t; функции sin t и cos t - переодические, 2 - основной период: sin(t2k)=sint и cos(t2k)=cost, где k - любое целое число.

    13.03.2018 Серафима:
    Найти: f(sin2x)⋅f(cos2x). Ответь. Бесплатная помощь с домашними заданиями.  задай свой вопрос. получи ответ в течение 10 минут. найди похожие вопросы.

    12.02.2018 Инесса:
    PHP720. Косинус числа. Онлайн. Введите число. Отключите пожалуйста AdBlock, чтобы поддержать веб-сайт. Другие вычисления.

    12.03.2018 inasfopho:
    Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций.  И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.

    13.02.2018 writbosa:
    Косинус в квадрате от числа. Тема в разделе "Таверна", создана пользователем Вельзевул, 09 Jan 2017 в 19:47.  Как найти cos^2 (10), надо найти косинус от 10, а потом возвести в квадрат?

    22.03.2018 Луиза:
    Вычислить, найти косинус угла cos(A) и угол, в прямоугольном треугольнике. b (прилежащий катет).  Вычислить, найти косинус угла cos(A) по углу A в градусах. A° (градусов). A´ (минут).