5.2. Квадратные неравенства


Содержание:
  • Рациональные неравенства. Начальный уровень.
  • Комментарии
  • Алгебра 9 класс. 3 октября. неравенства метод интервалов для дробей #1


  • Коротко о главном Начальный уровень

    Рациональные неравенства. Начальный уровень.

    Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

    Что такое рациональное выражение? Напомню:

    Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной  с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

    Например, такое рациональное неравенство: 

    Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

    Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

    Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

    Шаг 2. Метод интервалов.

    Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

    Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях! Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем! Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

    Пример 1.

    Решение:

    Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель. Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение ; но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется. Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать! Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

    Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

    Пример 2.

    Решение:

    Пример 3.

    Решение:

    Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители. Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:

    Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни  и , у второго  и .

    Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:

    Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

    Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа  и относительно ,  и . Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел» .

    Пример 4.

    Решение:

    Ты уже попробовал привести к общему знаменателю? Ужас, правда? Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение . А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):

    Тогда наше неравенство принимает вид:

    Такое мы решать уже умеем:

    Не забываем вернуться к начальной переменной – . Для этого нужно переписать полученное решение для  в виде неравенств:

    Комментарии

    Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-neravenstva-1

    Алгебра 9 класс. 3 октября. неравенства метод интервалов для дробей #1


    Опубликовано: 19.02.2018 | Автор: thirdbandflor1981

    Рейтинг статьи: 5

    Новое по теме


    Всего 5 комментариев.


    26.03.2018 Владилен:
    Дробно-рациональные неравенства, формулы и примеры решений. Решение дробно-рациональных неравенств находят по схеме.

    07.04.2018 Виргиния:
    Например, вот это — рациональные неравенства  Нужно решить дробно-рациональное неравенство.

    06.04.2018 tsourcartili:
    Решение целых и дробно рациональных неравенств. Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной».

    07.03.2018 Светозар:
    Как решить дробно-рациональное неравенство; Область допустимых значений; Сведение к эквивалентному рациональному неравенству.

    03.04.2018 breakmisi:
    Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

    25.02.2018 Юлиан:
    Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.